AI Метод наименьших квадратов Гаусса с весовыми коэффициентами отклонений

[AI]

В моей практике метод наименьших квадратов Гаусса используется в двух случаях.

Когда производится измерение, для корректировки полученной величины.

Когда необходимо задать ток или напряжение, для вычисления требуемого значения кода, заносимого в ЦАП (цифро-аналоговый преобразователь).

В качестве примера возьму измерение МДС (магнитодвижущая сила) срабатывания геркона.

Согласно ГОСТ 25810 «Контакты магнитоуправляемые герметизированные. Методы измерения электрических параметров» МДС срабатывания определяется по значению тока, протекающего через измерительную катушку в момент срабатывания геркона.

Если упрощенно, в катушке создается нарастающий со скоростью 1A/мc ток до срабатывания геркона. Величина этого тока и есть МДС срабатывания.

Графически корректировку результатов измерения можно представить следующим образом.

Ось X – то, что измерено, ось Y – то, что должно быть.

В метрологической службе берутся эталонные герконы. Эталонный геркон – это геркон с измеренной метрологами МДС.

,

,

,

,

– МДС 1, 2, 3, 4, 5-го эталонных герконов.

Измеряем 5 эталонных герконов.

,

,

,

,

– измеренная МДС 1, 2, 3, 4, 5-го геркона.

Для справки. Метод наименьших квадратов Гаусса позволяет заменить кривую результатов прямой (рис. 1).

Рисунок 1. Прямая, вычисленная по методу Гаусса

Уравнение прямой:

Коэффициенты a, b однозначно определяют прямую.

Формулы Гаусса для a, b:

В нашем примере n=5,

– измеренная МДС,

- эталонная.

Таким образом, измерив МДС геркона

, вносим поправку, получаем скорректированное значение:

В другом случае, при задании, к примеру, тока, решаем обратную задачу. Если необходимо задать ток

, тогда в ЦАП заносим код тока равного:

Вернемся к измерению МДС.

Погрешность измерения за счет влияния внешних электрических и магнитных полей не должна превышать 0.5А, и не должна быть более 2%.

Практика показала, что чем меньше величина МДС, тем меньшая погрешность допускается.

Моя идея – это ввести весовые коэффициенты отклонений в формулу критерия Гаусса. При этом функция

, весовых коэффициентов измерений – это тоже прямая.

Тогда получаем.

Критерий метода наименьших квадратов Гаусса: сумма квадратов отклонений точек кривой от точек прямой минимальна.

Где

– эталонная величина,

– точка на прямой Гаусса.

Если определить

, как вес отклонения для

, то уравнение Гаусса примет вид:

Получаем уравнения для a, b прямой:

Пример. Допустим

- линейная функция:

Пусть для двух крайних точек прямой:

Весовые коэффициенты заданы как:

Тогда получаем c, d прямой весовых коэффициентов по двум точкам:

Калькулятор (рис. 2) и тексты макросов демонстрируют идею метода наименьших квадратов Гаусса с весовыми коэффициентами отклонений.

Рисунок 2. Калькулятор

Private Sub CommandButton1_Click()

MNK

MNKk

End Sub

' Метод наименьших квадратов Гаусса

Sub MNK()

Dim i

Dim n

Dim ny, nx, nyx, nx2

Dim a, b

n = 5

ny = 0

nx = 0

nyx = 0

nx2 = 0

For i = 3 To n + 2

ny = ny + Cells(i, 2)

nx = nx + Cells(i, 3)

nyx = nyx + Cells(i, 2) * Cells(i, 3)

nx2 = nx2 + Cells(i, 3) * Cells(i, 3)

Next

a = (n nyx - nx ny) / (n nx2 - nx nx)

b = (ny - a * nx) / n

Cells(3, 5) = a

Cells(3, 6) = b

End Sub

' Метод наименьших квадратов Гаусса с весовыми коэффициентами отклонений

Sub MNKk()

Dim i

Dim n

Dim nk, nky, nkx, nkyx, nkx2

Dim a, b

n = 5

nk = 0

nky = 0

nkx = 0

nkyx = 0

nkx2 = 0

For i = 3 To n + 2

nk = nk + Cells(i, 15)

nky = nky + Cells(i, 15) * Cells(i, 13)

nkx = nkx + Cells(i, 15) * Cells(i, 14)

nkyx = nkyx + Cells(i, 15) Cells(i, 13) Cells(i, 14)

nkx2 = nkx2 + Cells(i, 15) Cells(i, 14) Cells(i, 14)

Next

a = (nk nkyx - nkx nky) / (nk nkx2 - nkx nkx)

b = (nky - a * nkx) / nk

Cells(3, 17) = a

Cells(3, 18) = b

End Sub

Приложение №1. Метод наименьших квадратов Гаусса

Приложение №2. Метод наименьших квадратов Гаусса с весовыми коэффициентами отклонений

– вес отклонения для